Dòng chảy thế – Phần I

   Trong bài viết này, dòng chất lỏng không nén được, không nhớt, ở trạng thái dừng, chảy trên mặt phẳng, không xoáy, và trường dòng không chịu tác dụng của lực khối nào được xem xét. Dòng chảy này còn được biết đến với tên là dòng chảy thế.

Các phương trình mô tả hành vi động lực học của trường dòng gồm phương trình liên tục và phương trình động lượng. Các phương trình này được viết lại với các giả thiết được nêu trên trong hệ tọa độ Đề Các như sau:

Phương trình liên tục:

Phương trình động lượng:

Viết lại phương trình động lượng:

Đối với trường dòng không xoáy ta có được:

Thay biểu thức trên vào biểu thức phương trình động lượng ta có được:

Biểu thức trong dấu đạo hàm riêng được không đổi trên toàn miền chất lỏng. Đó chính là phương trình Bernoulli.

Hai giả thiết dòng chất lỏng không nén được và không xoáy được khai thác ở phần còn lại của bài viết này. Biểu thức toán học mô tả hai giả thiết trên lần lượt như sau:

Từ phương trình liên tục, tồn tại một hàm vô hướng \mathrm{\psi \left( {x,y} \right)} sao cho:

Hiển nhiên hàm \mathrm{\psi \left( {x,y} \right)} khiến phương trình liên tục tự động được thỏa mãn. Hàm \mathrm{\psi \left( {x,y} \right)} được gọi là hàm dòng.

Từ phương trình không xoáy, tồn tại một hàm vô hướng \mathrm{\varphi \left( {x,y} \right)} sao cho:

Hiển nhiên hàm \mathrm{\varphi \left( {x,y} \right)} khiến điều kiện không xoáy được thỏa mãn. Hàm \mathrm{\varphi \left( {x,y} \right)} được gọi là hàm thế vận tốc.

Thay biểu diễn vận tốc theo hàm thế vận tốc vào phương trình liên tục và biểu diễn vận tốc theo hàm dòng vào biểu thức không xoáy. Ta được:

 

Như vậy hàm dòng \mathrm{\psi \left( {x,y} \right)} và hàm thế \mathrm{\varphi \left( {x,y} \right)} đều thỏa mãn toán tử Laplace \mathrm{\Delta}.

—————————– * * * —————————–

Trả lời