Hiển thị dòng chảy

Hiển thị dòng chảy đóng vai trò quan trọng trong cơ học chất lỏng và các lĩnh vực liên quan tới chất lỏng. Trong bài viết này, đường dòng, quỹ đạo, đường đồng thời (timeline), và đường vết (streakline) lần lượt được giới thiệu.

Các vector như vector vận tốc $\mathrm{\overrightarrow V}$ , vector chuyển dời $\mathrm{d\overrightarrow x}$ , vector vị trí $\mathrm{\overrightarrow x}$ , và vector vị trí $\mathrm{\overrightarrow x_0}$ tại thời điểm t = 0 có các thành phần trong hệ tọa độ Đề Các lần lượt như sau:

$\overrightarrow V = u\overrightarrow i + v\overrightarrow j + {\rm{w}}\overrightarrow k$

$d\overrightarrow x = dx\overrightarrow i + dy\overrightarrow j + dz\overrightarrow k$

$\overrightarrow x = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k$

$\overrightarrow x_0 = x_0\overrightarrow i + y_0\overrightarrow j + z_0\overrightarrow k$

Đường dòng

Đường dòng là đường được vạch ra trong trường dòng sao cho phương của vận tốc trùng với phương tiếp tuyến của đường dòng tại mỗi thời điểm cụ thể.

Hình 1: Đường dòng.⁽¹⁾

Theo định nghĩa, phương của vận tốc trùng với phương của đường dòng cho nên biểu thức vi phân toán học của đường dòng được biểu diễn như sau:

$\frac{{dx}}{u} = \frac{{dy}}{v} = \frac{{dz}}{{\rm{w}}}$

Phương trình mô tả đường dòng trong không gian được viết dưới dạng tham số như sau:

${x = x(s,t)}$

${y = y(s,t)}$

${z = z(s,t)}$

Biểu thức vi phân của đường dòng được viết lại dưới dạng tham số như sau:

$\frac{{dx}}{{u\left( {x,y,z,t} \right)}} = \frac{{dy}}{{v\left( {x,y,z,t} \right)}} = \frac{{dz}}{{{\rm{w}}\left( {x,y,z,t} \right)}} = ds$

Thí dụ sau được sử dụng để minh họa cách thiết lập phương trình đường dòng khi trường vận tốc đã được xác định:

Thí dụ: Xác định phương trình đường dòng đi qua A(1,1,0) tại thời điểm t = 0 biết trường vận tốc của dòng chảy hai chiều được xác định như sau:

${u = x(1 + 2t)}$

${v = y}$

${w = 0}$

Lời giải

Từ biểu thức vi phân dưới dạng tham số hóa của đường dòng ta có được

${\frac{{dx}}{{ds}} = x(1 + 2t)}$

${\frac{{dy}}{{ds}} = y}$

${\frac{{dz}}{{ds}} = 0}$

Tích phân các phương trình vi phân trên ta được các đường dòng trong trường dòng như sau:

${x = {C_1}{e^{s(1 + 2t)}}}$

${y = {C_2}{e^s}}$

${z = {z_0}}$

Chú ý: Các hệ số $\mathrm{C_1}$ và $\mathrm{C_2}$ trong biểu thức trên sẽ xác định các đường dòng khác nhau trong trường dòng tại mỗi thời điểm t. Nghĩa là ứng với mỗi cặp hệ số này ta có một đường dòng tương ứng. Còn tham số s xác định vị trí của điểm trên đường dòng.

Quay trở lại thí dụ, tại thời điểm t = 0, đường dòng đi qua điểm A(1,1,0). Do s được dùng để xác định các điểm trên đường dòng nên ta gán s = 0 tương ứng với vị trí A. Từ đó ta dễ dàng xác định được $\mathrm{C_1=1}$ , $\mathrm{C_2=1}$ , và $\mathrm{z_0=0}$ . Thay vào các phương trình trên ta được:

${x = {e^{s}}}$

${y = {e^s}}$

${z = 0}$

hay phương trình đường dòng có dạng $\mathrm{ x = y}$ trên mặt phẳng z = 0.

Quỹ đạo

Qũy đạo của một phân tố chất lỏng là đường được vạch ra trong trường dòng bởi phân tố chất lỏng đó theo thời gian.

Hình 2: Qũy đạo vạch bởi một phân tố chất lỏng theo thời gian. ⁽²⁾

Phương trình vi phân mô tả quỹ đạo của một phân tố chất lỏng

$\frac{{dx}}{{u\left( {x,y,z,t} \right)}} = \frac{{dy}}{{v\left( {x,y,z,t} \right)}} = \frac{{dz}}{{{\rm{w}}\left( {x,y,z,t} \right)}} = dt$

Tích phân phương trình trên ta sẽ xác định được quỹ đạo của các phân tố chất lỏng.

Thí dụ: Tìm quỹ đạo của hạt lỏng tại thời điểm t = 0 đi qua điểm A(1,1,0) trong trường dòng được cho ở phần trên:

Lời giải

Phương trình vi phân mô tả quỹ đạo của phân tố lỏng là:

$dx = x(1 + 2t)dt$

$dy = ydt$

$dz = 0$

Tích phân phương trình vi phân trên ta được:

$x = {C_1}{e^{t + t^2}}$

$y = {C_2}{e^t}$

$z = {z_0}$

Chú ý: Hằng số C₁ và C₂ xác định các quỹ đạo khác nhau. Hay nói một cách khác, mỗi cặp hằng số này sẽ xác định một quỹ đạo.

Do phân tố chất lỏng xem xét đi qua A(1,1,0) tại t = 0 cho nên C₁ = C₂=1 và z₀=0. Vậy phương trình quỹ đạo của hạt lỏng là:

$x = {e^{t + t^2}}$

$y = {e^t}$

$z = 0$

Đường đồng thời (timeline)

Đường timeline là đường cong được vạch ra bởi các phân tố chất lỏng nằm trên một đường cong được đánh dấu tại một thời điểm cụ thể trước đó.

Hình 3: Đường đồng thời và các quỹ đạo. ⁽³⁾

Trong hình 3, có bốn hạt lỏng kề nhau được quan sát và đánh dấu màu lần lượt là vàng, đỏ, xanh lá cây, và xanh dương lần lượt vạch ra các đường quỹ đạo màu vàng, đường quỹ đạo màu đỏ, đường quỹ đạo màu xanh lá cây, và đường quỹ đạo màu xanh dương. Ta quay sang một cách quan sát khác, tại thời điểm t = t₀, các hạt lỏng màu vàng, màu đỏ, màu xanh lá cây, và màu dương vạch ra đường đồng thời thẳng đứng. Khi thời gian trôi đi, chẳng hạn tại thời điểm t = t₁, các hạt lỏng này vạch ra đường đồng thời có hình dạng cong, khác với hình dạng ban đầu. Hình 3 chỉ ra hình ảnh của đường đồng thời tại các thời điểm khác nhau.

Từ định nghĩa ta suy ra được rằng đường đồng thời là tập hợp các hạt lỏng riêng biệt kế tiếp nhau được quan sát tại cùng một thời điểm mà vị trí của các hạt lỏng này phụ thuộc vào vị trí tại thời điểm bắt đầu quan sát trong quá khứ cho nên phương trình vi phân của đường đồng thời cho một hạt lỏng nằm trên nó là:

$\frac{{dx}}{{u\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow {{x_0}} ,t} \right)}} = \frac{{dy}}{{v\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow {{x_0}} ,t} \right)}} = \frac{{dz}}{{{\rm{w}}\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow {{x_0}} ,t} \right)}} = dt$

Do các hạt lỏng tại thời điểm bắt đầu quan sát nằm trên đường cong nào đó, cho nên vị trí ban đầu của chúng phải thỏa mãn rằng buộc sau:

$f\left( {\overrightarrow {{x_0}} } \right) = 0$

Ta tích phân phương trình vi phân trên như tích phân cho phương trình quỹ đạo rồi chú ý tới điều kiện ràng buộc. Trong các ví dụ dưới đây, biểu thức toán học của hình dạng đường đồng thời được tham số hóa.

Thí dụ 1: Xác định đường đồng thời biết thời điểm t = 0 các hạt lỏng nằm trên đường {x = 0, y = s, z = 0} trong trường dòng cho ở mục phía trên.

Lời giải

Từ lời giải trong mục quỹ đạo, phương trình quỹ đạo là:

$x = {C_1}{e^{t + t^2}}$

$y = {C_2}{e^t}$

$z = {z_0}$

Tại thời điểm t = 0, hạt lỏng có vị trí {x=0, y = s, z = 0} (chú ý mỗi giá trị của s tương ứng với vị trí của mỗi hạt lỏng tại thời điểm ban đầu) cho nên C₁=z₀=0 và C₂=s. Vậy phương trình đường đồng thời là:

$x = 0$

$y = {s}{e^t}$

$z = 0$

Tại mỗi thời điểm t, ta có được một phương trình tham số tương ứng với một đường đồng thời. Đường đồng thời vẫn là đường thẳng và di chuyển theo phương thẳng đứng.

Thí dụ 2: Xét dòng chất lỏng chảy qua hai tấm phẳng song song đặt cách nhau một khoảng h. Tấm phẳng dưới được giữ đứng yên, tấm phẳng ở phía trên di chuyển với vận tốc không đổi $\mathrm{\overrightarrow U}$ . Từ kết quả trong cơ học chất lỏng, ta có được profile vận tốc phân bố tuyến tính giữa hai tấm phẳng.

Hình 4: Dòng Couette. ⁽⁴⁾

Trường dòng được biểu diễn như sau:

$u = U\frac{y}{h}$

$v = 0$

Xét đường đồng thời tại thời điểm t = 0 được có biểu thức thức toán học biểu diễn dưới dạng phương trình tham số {x=0,y=s}. Xác định phương trình mô tả hình dạng của đường đẳng thời tại thời điểm t > 0.

Lời giải

Phương trình vi phân của quỹ đạo là:

$\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{U}{h}y$

$\frac{{dy}}{{dt}} = 0$

Tích phân phương trình vi phân trên ta được:

$x = \frac{U}{h}Ct+D$

$y = C$

Tại thời điểm t = 0, hạt lỏng đi qua điểm {x=0,y=s} cho nên C = s, D = 0. Vậy phương trình đường đồng thời là:

$x = \frac{U}{h}st$

$y = s$

Loại s ra khỏi phương trình tham số ta được:

$x = y\frac{U}{h}t$

Như vậy đường đồng thời vẫn là đường thẳng tuy nhiên góc nghiêng giảm dần theo thời gian. (hệ số góc $\mathrm{\frac{h}{Ut}}$ ).

Đường vết (streakline)

Đường vết (streakline) là đường cong được vạch ra theo thời gian trong trường dòng bởi tập hợp các phân tố chất lỏng cùng đi qua một điểm cố định trong trường dòng.

Từ định nghĩa của đường vết, đường vết là tập hợp các hạt lỏng cho nên phương trình vi phân quỹ đạo được sử dụng để xác định đường vết. Tuy nhiên, ta cần chú ý rằng hạt lỏng trên đường vết có lịch sử tại $\mathrm {\tau<t}$ đi qua điểm cố định. Để hiểu rõ hơn, ta thực hiện thí dụ dưới đây.

Thí dụ: Tìm phương trình đường vết đi qua điểm A(1,1,0) của trường dòng trên.

lời giải

Tích phân phương trình vi phân của quỹ đạo ta có được:

$x = {C_1}{e^{t + t^2}}$

$y = {C_2}{e^t}$

$z = {z_0}$

Tại thời điểm $\mathrm{\tau<t}$ , hạt lỏng đi qua điểm A(1,1,0) cho nên ta có được:

${C_1} = {e^{ - \tau - \tau ^2}}$

${C_2} = {e^{ - \tau }}$

${z_0} = 0$

Vậy phương trình đường vết là:

$x = {e^{t - \tau + t^2 - \tau ^2}}$

$y = {e^{t - \tau }}$

$z = 0$

Tại mỗi thời điểm cụ thể t (t được cho trước), ta hoàn toàn có vẽ được đường cong. Đường cong đó là đường vết.

————————- * * * ————————-

Nguồn:

https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-489d1c84ff923ccb83b510c62fc37557
http://www.gatecoachingindelhi.co.in/blog/wp-content/uploads/2016/09/Streamline2.png
http://www-mdp.eng.cam.ac.uk/web/library/enginfo/aerothermal_dvd_only/aero/fprops/cvanalysis/path.gif
https://sites.google.com/site/arifosu/_/rsrc/1463114834631/resource/2d-couette-flow–simple-algorithm/400px-Transport_%281%29.jpg?height=231&width=320

Sign up for Newsletter

Khí động lực học (Aerodynamics)

Hiển thị dòng chảy

Bài viết cùng chuyên mục

Trên tay Logitech Flight Yoke System: cần lái tập lái máy bay tại nhà

Cấu hình để chơi mượt Flight Simulator 2020? Cần những gear gì?

Bản vẽ F22 Raptor flat

Bản vẽ X-schuttle

Bản vẽ Polaris Scale

Bản vẽ BD-5

Bản vẽ SU31 Flat

Bản vẽ Su37 Flat

Trả lời Hủy

Sign up for Newsletter

Bài viết cùng chuyên mục

Trên tay Logitech Flight Yoke System: cần lái tập lái máy bay tại nhà

Cấu hình để chơi mượt Flight Simulator 2020? Cần những gear gì?

Bản vẽ F22 Raptor flat

Bản vẽ X-schuttle

Bản vẽ Polaris Scale

Bản vẽ BD-5

Bản vẽ SU31 Flat

Bản vẽ Su37 Flat

Trả lời Hủy

Đăng nhập