Phương trình Bernoulli

Để phục vụ quá trình thiết lập phương trình Bernoulli, ta nhớ lại phương trình mô tả hành vi động lực học của chất lỏng Newtonian được viết dưới dạng không bảo toàn:

$\rho \frac{{\partial \overrightarrow V }}{{\partial t}} + \rho \overrightarrow V .\nabla \overrightarrow V = \rho \overrightarrow f - \nabla p + \nabla \cdot \overline{\overline \tau} (1)$

Trong đó:

$\rho$ là khối lượng riêng của chất lỏng.
$\overrightarrow V$ là vector vận tốc.
$\overrightarrow f$ là gia tốc gây ra bởi lực khối.
$p$ là áp suất.
$\overline{\overline \tau }$ là tensor ứng suất nhớt.

Một số giả thiết sau đây được sử dụng để thiết lập phương trình Bernoulli:

Khối lượng riêng là hàm của áp suất hoặc khối lượng riêng của chất lỏng không đổi.
Chất lỏng không nhớt.
Trường dòng chịu tác dụng của lực khối bảo toàn.

Áp dụng các giả thiết không nhớt, phương trình động lượng được viết lại như sau:

$\frac{{\partial \overrightarrow V }}{{\partial t}} + \overrightarrow V .\nabla \overrightarrow V = \overrightarrow f - \frac{1}{\rho }\nabla p (2)$

Do trường dòng chịu tác dụng của lực bảo toàn cho nên tồn tại hàm thế năng lượng G sao cho:

$\overrightarrow f = - \nabla G (3)$

Biến đổi số hạng đối lưu $\overrightarrow {V.} \nabla \overrightarrow V$ (số hạng thứ hai ở vế trái của phương trình (2))

$\overrightarrow {V.} \nabla \overrightarrow V = \nabla \left( {\frac{1}{2}{V^2}} \right) + \left( {\nabla \times \overrightarrow V } \right) \times \overrightarrow V (4)$

Do áp suất là hàm của khối lượng riêng hoặc khối lượng riêng không đổi cho nên ta có mối quan hệ sau: (Lưu ý sự bằng nhau của biến đổi vi phân trong dấu ngoặc tròn được đảm bảo bằng giả thiết này)

$\frac{1}{\rho }\nabla p.d\overrightarrow l = \left( {\frac{{dp}}{\rho } = d\int {\frac{{dp}}{\rho }} } \right) = \nabla \left( {\int {\frac{{dp}}{\rho }} } \right).d\overrightarrow l (5.1)$

Do phương $\overrightarrow dl$ được chọn bất kì nên

$\frac{1}{\rho }\nabla p = \nabla \left( {\int {\frac{{dp}}{\rho }} } \right) (5.2)$

Thay các phương trình (3), (4), và (5.2) vào phương trình (2)

$\frac{{\partial \overrightarrow V }}{{\partial t}} + \nabla \left( {\frac{1}{2}{V^2} + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G} \right) + \left( {\nabla \times \overrightarrow V } \right) \times \overrightarrow V = 0 (6)$

Phương trình (6) chứa số hạng liên quan tới hiện tượng không dừng $\frac{{\partial \overrightarrow V }}{{\partial t}}$ và số hạng liên quan tới xoáy $\left( {\nabla \times \overrightarrow V } \right) \times \overrightarrow V$ khiến phương trình (6) trở nên phức tạp. Để đơn giản, một số giả thiết được thêm vào đơn giản hóa phương trình (6) bằng cách loại bỏ một trong hai số hạng đó.

Dòng chảy dừng
Số hạng liên quan tới hiện tượng không dừng bị loại bỏ. Phương trình động lượng được viết lại như sau: $\nabla \left( {\frac{1}{2}{V^2} + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G} \right) + \left( {\nabla \times \overrightarrow V } \right) \times \overrightarrow V = 0 (7)$

Xét phương trình (7) trên một đường dòng bất kì nào đó bằng cách nhân vô hướng hai vế của phương trình (7) với vector vận tốc ${\overrightarrow V }$ . Do tính chất của tích có hướng luôn trực giao với các vector thành phần nên tích vô hướng của vector vận tốc ${\overrightarrow V }$ và $\left( {\nabla \times \overrightarrow V } \right) \times \overrightarrow V$ bằng không.

$\overrightarrow V .\nabla \left( {\frac{1}{2}\rho {V^2} + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G} \right) = 0 (8)$

Lưu ý trường dòng được xem xét ở đây là trường dòng dừng, thành phần đạo hàm cục bộ (local derivative) liên quan tới hiện tượng không dừng tự triệt tiêu cho nên vế phải của phương trình (8) thực chất là đạo hàm vật chất (material derivative). Do đó, phương trình (8) dễ dàng được tích phân

$\frac{1}{2}{V^2} + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G = C (9)$

Phương trình (9) được gọi là phương trình Bernoulli cho dòng chảy dừng.

Chú ý: phương trình (9) chỉ được áp dụng cho các đường dòng và hằng số tích phân C thay đổi đối với đường dòng khác nhau. Trong trường hợp trường dừng và không xoáy thì C không thay đổi trên toàn miền dòng lỏng choán và không thay đổi theo thời gian.

Đối với trường dòng không nén được và chịu tác dụng của lực trọng trường ( $\overrightarrow f = - g\,\overrightarrow {{e_z}}$ ), phương trình (9) trở thành:

${p_0} = \frac{1}{2}\rho {V^2} + p + \rho gz = const (10)$

Trong đó:
- ${p_0}$ là áp suất tổng.
- $g$ là gia tốc trọng trường.
- $z$ là độ cao của điểm nằm trên đường dòng đang xét.
Dòng chảy không xoáy
Đối với dòng chảy không xoáy, tồn tại hàm vô hướng, được gọi là hàm thế vận tốc, sao cho: $\overrightarrow V = \nabla \phi (11)$

Thay phương trình (11) vào phương trình (6)

$\frac{{\partial \nabla \phi }}{{\partial t}} + \nabla \left( {\frac{1}{2}\nabla \phi \cdot \nabla \phi + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G} \right) = 0 (12.1)$

Hoán đổi vị trí toán tử nabla $\nabla$ và $\frac{\partial }{{\partial t}}$ của số hạng đầu tiên của phương trình (12.1) và tiến hành rút gọn

$\nabla \left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\nabla \phi \cdot \nabla \phi + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G} \right) = 0 (12.2)$

Phương trình (12.2) cho biết biến $\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\nabla \phi \cdot \nabla \phi + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G$ đồng nhất trong dòng chất lỏng tại thời điểm xem xét cho nên

$\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\nabla \phi \cdot \nabla \phi + \int {\frac{{dp}}{\rho }} + G = C\left( t \right) (13)$

Phương trình (13) là phương trình Bernoulli cho dòng chảy không xoáy và không dừng.
Chú ý: Hằng số tích phân C(t) đồng nhất trên toàn miền chất lỏng tại mỗi thời điểm nhưng thay đổi theo thời gian.

—————————–***—————————–