Tại sao các hệ số khí động lực học của cánh máy bay phụ thuộc vào các tham số không thứ nguyên?

Để mở đầu vấn đề, ta xem xét các thí dụ đơn giản để hiểu được nghiệm của phương trình phụ thuộc vào các hệ số của phương trình và các điều kiện ràng buộc liên kết với phương trình.

Thí dụ 1: Xét phương trình bậc hai một ẩn trên tập số phức C:


Nghiệm của phương trình


Từ kết quả trên, ta rút ra nghiệm của phương trình phụ thuộc vào các hệ số có trong phương trình. Nghiệm của phương trình là hàm của a, b, c và có dạng sau:

Thí dụ 2: Xét phương trình vi phân


Với điều kiện ban đầu


Nghiệm của phương trình


Từ kết quả trên, ta rút ra nghiệm của phương trình trên phụ thuộc vào các hệ số a có trong phương trình vi phân và hệ số b có trong điều kiện ban đầu. Nghiệm của phương trình trên là hàm của a, b, t và có dạng sau:

Để trả lời câu hỏi nêu ra ở tiêu đề, ta xem xét nghiệm của phương trình Navier-Stokes mô tả trường dòng 2D dừng của chất lỏng không nén được với hệ số nhớt không đổi không chịu tác dụng của bất kì lực thể tích nào chảy qua một profile cánh. Từ các giả thiết ở trên, phương trình động lượng là kết quả của cân bằng giữa lực quán tính, lực áp, và lực nhớt.

Phương trình Navier-Stokes được viết dưới dạng vector như sau:



Lấy dây cung của profile cánh L làm chiều dài đặc trưng, vận tốc dòng tự do U là vận tốc đặc trưng của dòng. Sau đó, ta định nghĩa các biến và toán tử không thứ nguyên như sau:






Đưa các định nghĩa (3-7) vào hệ phương trình (1-2) và tiến hành rút gọn, ta được hệ phương trình không thứ nguyên sau:



Số Reynolds, Re, được định nghĩa như sau:


Đưa định nghĩa số Reynolds vào phương trình (9), ta được


Nhận xét:
1. Hệ phương trình (8) và (11) gồm hai phương trình và hai ẩn áp suất và vận tốc trong đó Re là tham số không thứ nguyên xuất hiện trong phương trình động lượng cho nên nghiệm của hệ phương trình phải phụ thuộc vào Re.

2. Nếu ta thay đổi góc tấn α, phương trình điều kiện biên trên bề mặt profile cánh bị thay đổi cho nên nghiệm của hệ phương trình (8) và (11) cũng bị thay đổi. Do đó, nghiệm của hệ phương trình cũng phụ thuộc góc tấn α.

3. Ngoài ra, các tham số hình học của profile cánh như độ vồng, độ dày,… cũng ảnh hưởng tới phương trình điều kiện biên trên bề mặt profile cánh và do đó chúng ảnh hưởng tới trường dòng. Để đơn giản, ta chỉ xem xét tấm phẳng mỏng cho các lập luận dưới đây. Do đó, ảnh hưởng của độ vồng, độ dày của profile,…lên nghiệm của hệ phương trình (8) và (11) bị loại bỏ.

Từ các nhận xét trên, nghiệm của hệ phương trình (8) và (11) có dạng sau:



Áp suất và ứng suất tiếp là hai thành phần gây ra lực khí động lực học trên profile cánh tuy nhiên đóng góp của hai thành phần này không giống nhau. Áp suất đóng vai trò chính trong việc tạo ra lực nâng trong khi ứng suất tiếp đóng vai trò thứ yếu.

Hệ số lực nâng của profile được định nghĩa và biểu diễn theo áp suất như sau:


Đưa phương trình (14) về dạng không thứ nguyên và tiến hành tích phân


Chú ý ở biến đổi phương trình (15) với trường hợp profile cánh là tấm phẳng, ta có được mối quan hệ sau:

Để kết thúc bài, ta có một số nhận xét sau:
1. Phương trình (15) chỉ ra hệ số lực nâng của profile cánh phụ thuộc vào góc tấn và tham số không thứ nguyên Re trong trường hợp profile là tấm phẳng.

2. Nếu profile cánh không phải là tấm phẳng thì ngoài góc tấn và số Reynolds, hệ số lực nâng còn phải phụ thuộc vào các tham số không thứ nguyên liên quan tới hình học của profile cánh như độ vồng, độ dày, … Tuy nhiên, ảnh hưởng của các tham số không thứ nguyên lên các hệ số khí động lực học của profile là không như nhau. Hệ số khí động lực học có khi phụ thuộc vào một số tham số thứ nguyên trong khi ràng buộc yếu với các tham số khác.

3. Lập luận tương tự như trường hợp hệ số lực nâng, các hệ số khí động khác cũng phụ thuộc vào các tham số không thứ nguyên được nêu ra ở nhận xét 1 và 2 liền phía trên nhận xét này.

4. Trong trường hợp cánh hữu hạn, ta dễ dàng chỉ ra được các hệ số khí động lực học còn phụ thuộc vào cả hệ số dạng (aspect ratio AR) (lập luận tương tự như trường hợp hệ số lực nâng và được dành cho các bạn độc giả).
____________________ The End ____________________

Trả lời